竞赛图的 $\{-3\}$-重构与 $\{-3\}$-自对偶性

设 $T = (V,A)$ 为一个（有限）竞赛图，$k$ 为非负整数。对于 $V$ 的每个子集 $X$，关联由 $X$ 诱导的 $T$ 的子竞赛图 $T[X] = (X,A\cap (X \times X))$。$T$ 的对偶竞赛图记为 $T^*$，是通过反转 $T$ 的所有弧而得到的竞赛图。若竞赛图 $T$ 同构于其对偶图，则称 $T$ 为自对偶的。若对于每个 $k$ 个顶点的集合 $X$，$T[V \setminus X]$ 都是自对偶的，则称 $T$ 为 $\{-k\}$-自对偶的。若 $T$ 的每个诱导子竞赛图都是自对偶的，则称 $T$ 为强自对偶的。$V$ 的子集 $I$ 称为 $T$ 的一个区间，如果对于任意 $a, b \in I$ 和任意 $x \in V \setminus I$，$(a,x) \in A$ 当且仅当 $(b,x) \in A$。例如，$\varnothing$、$V$ 以及 $\{x\}$（其中 $x \in V$）是 $T$ 的区间，称为平凡区间。若 $T$ 的所有区间均为平凡的，则称 $T$ 为不可分解的；否则，称其为可分解的。若对于每个 $k$ 个顶点的集合 $X$，$T[V \setminus X]$ 与 $T'[V \setminus X]$ 同构，则称定义在集合 $V$ 上的竞赛图 $T'$ 与 $T$ 是 $\{-k\}$-同胚的。若每个与 $T$ $\{-k\}$-同胚的竞赛图都同构于 $T$，则称 $T$ 是 $\{-k\}$-可重构的。假设 $T$ 是可分解的且 $|V| \geq 9$。本文首先证明了 $T$ 的 $\{-3\}$-自对偶性与强自对偶性等价。随后，我们刻画了每个与 $T$ $\{-3\}$-同胚的竞赛图。作为该刻画的一个推论，我们证明了若不存在 $T$ 的区间 $X$ 使得 $T[X]$ 不可分解且 $|V \setminus X| \leq 2$，则 $T$ 是 $\{-3\}$-可重构的。最后，我们将 $\{-3\}$-重构问题归约到不可分解情形（在竞赛图及其对偶图之间）。特别地，我们以一种更简单的方式发现并改进了 Y. Boudabbous 和 A. Boussaïri 在文献 [6] 中得到的结果。