不可分解竞赛图中的强临界点

设 $T=(V,A)$ 为一个竞赛图。对于 $X\subseteq V$,由 $X$ 诱导的 $T$ 的子竞赛图记为 $T[X]$。$V$ 的一个子集 $I$ 是 $T$ 的一个区间,当且仅当对任意 $a,b\in I$ 和 $x\in V\setminus I$,有 $(a,x)\in A$ 当且仅当 $(b,x)\in A$。例如,$\varnothing$、${x}$($x \in V$)和 $V$ 是 $T$ 的区间,称为平凡区间。若 $T$ 的所有区间都是平凡的,则竞赛图 $T$ 是不可分解的,否则它是可分解的。一个临界竞赛图是指基数 $\geqslant 5$ 的不可分解竞赛图 $T$,使得 $T$ 的每个顶点 $x$ 都是临界的,即子竞赛图 $T[V(T)\setminus\{x\}]$ 是可分解的。给定不可分解竞赛图 $T$,$T$ 的一个顶点 $x$ 是强临界的,如果对每个满足 $x\in X$、$\vert X\vert \geqslant 5$ 且 $T[X]$ 不可分解的 $X\subseteq V(T)$,$x$ 是 $T[X]$ 的临界顶点。设 $T$ 为不可分解竞赛图,令 $\mathscr{C}(T)$ 为 $T$ 的强临界顶点集合。我们证明,若 $T$ 是非临界的,则 $f(T):=\vert \mathscr{C}(T)\vert \leqslant 4$,并且对应 $f(T)$ 从不可分解且非临界竞赛图类(通过嵌入定义)到 $\{0,1,2,3,4\}$ 是递减的。通过举例,我们还验证了界 0 和 4 是最优的。本文摘自我的硕士论文 \cite{mon mast\`ere}。