无 $U_5$ 竞赛图的结构定理

设 $U_5$ 为具有顶点 $v_1$, ..., $v_5$ 的竞赛图，满足 $v_2 \rightarrow v_1$，且当 $j-i \equiv 1$, $2 \pmod{5}$ 且 ${i,j} \neq {1,2}$ 时 $v_i \rightarrow v_j$。本文描述了不包含 $U_5$ 作为子竞赛图的竞赛图。具体而言，我们证明了若竞赛图 $G$ 是“素”的（即不存在子集 $X \subseteq V(G)$ 满足 $1 < |X| < |V(G)|$，使得对于所有 $v \in V(G) \backslash X$，要么对所有 $x \in X$ 有 $v \rightarrow x$，要么对所有 $x \in X$ 有 $x \rightarrow v$），则 $G$ 无 $U_5$ 当且仅当 $G$ 是特定的竞赛图 $T_n$，或者 $V(G)$ 可划分为集合 $X$, $Y$, $Z$，使得 $X \cup Y$, $Y \cup Z$ 和 $Z \cup X$ 均为传递的。基于素 $U_5$-free 竞赛图，我们可以构造出所有的 $U_5$-free 竞赛图。利用该定理，我们证明了每个具有 $n$ 个顶点的 $U_5$-free 竞赛图都包含一个至少有 $n^{\log_3 2}$ 个顶点的传递子竞赛图，且该界是紧的。