关于六顶点竞赛图的 Erdős-Hajnal 猜想

Erdős 和 Hajnal 提出的一个著名的未决猜想指出，对于每个无向图 $H$，都存在 $\epsilon(H)>0$，使得每个不包含 $H$ 作为导出子图的 $n$ 顶点无向图都包含一个大小至少为 $n^{\epsilon(H)}$ 的团或稳定集。该猜想有一个有向等价版本，指出对于每个竞赛图 $H$，都存在 $\epsilon(H)>0$，使得每个 $H$-free 的 $n$ 顶点竞赛图 $T$ 都包含一个阶数至少为 $n^{\epsilon(H)}$ 的传递子竞赛图。如果一个竞赛图没有非平凡的齐性集，我们就称该竞赛图为 \textit{prime} 的。到目前为止，该猜想仅对某些特定的素竞赛图族 (\cite{chorochudber, choromanski2}) 以及根据所谓的 \textit{substitution procedure} 构造的竞赛图 (\cite{alon}) 得到了证明。特别是，最近该猜想已对所有五顶点竞赛图得到了证明 (\cite{chorochudber})，但关于该猜想对所有六顶点竞赛图是否成立的问题仍然悬而未决。在本文中，我们证明了除至多一个外，所有六顶点竞赛图都满足 Erdős-Hajnal 猜想。这将六顶点的情形归结为单个竞赛图。