诱导子图密度。IV. 具有 Erd\H{o}s-Hajnal 性质的新图

Erd\H{o}s 与 Hajnal 猜想：对每个图 $H$，存在 $c>0$ 使得每个 $H$-自由图 $G$ 都有一个大小至少为 $|G|^c$ 的团或稳定集（若图没有同构于 $H$ 的诱导子图，则称其为 $H$-自由的）。Alon、Pach 与 Solymosi 将 Erd\H{o}s-Hajnal 猜想归约到 $H$ 为{\em 素}图的情形（即 $H$ 不能由更小图通过顶点替换得到）；但至今未对任何多于五个顶点的素图证明该猜想。我们将给出无穷多个满足该猜想的素图。设图 $H$ 具有如下性质：对每个大小 $|G'|\ge 3$ 的素诱导子图 $G'$，$G'$ 有一个一度顶点和一个度为 $|G'|-2$ 的顶点。我们将证明每个具有此性质的图 $H$ 都满足 Erd\H{o}s-Hajnal 猜想，且具此性质的无穷多个图为素图。更一般地，若每个至少三个顶点的素诱导子图都有一个一度顶点，则称该图为{\em 可构造的}。我们证明若 $H_1$ 与 $\overline{H_2}$ 均为可构造的，则存在 $c>0$ 使得每个同时 $H_1$-自由且 $H_2$-自由的图 $G$ 都有一个大小至少为 $|G|^c$ 的团或稳定集。我们的证明使用了一种“迭代稀疏化”新技术，即依次过渡到一系列限制渐强的诱导子图。该方法也推广到有序图与竞赛图。对于有序图，我们得到一个显著扩展 Pach 与 Tomon 近期关于排除单调路径结果的定理；对于竞赛图，我们得到无穷多个满足 Erd\H{o}s-Hajnal 猜想（竞赛图形式）的新素竞赛图。