$1$-坚韧 $(P_2\cup kP_1)$-自由图的哈密顿性

给定图 $H$，若图 $G$ 不包含 $H$ 作为诱导子图，则称 $G$ 为 $H$-自由的。对于正实数 $t$，若对非完全图 $G$ 的任意顶点割 $S$，$|S|$ 与 $G-S$ 的连通分支数之比至少为 $t$，则称 $G$ 为 $t$-坚韧的。完全图对任意 $t>0$ 均称为 $t$-坚韧的。Chvátal 的坚韧猜想称存在常数 $t_0$ 使得每个至少三个顶点的 $t_0$-坚韧图是哈密顿的，该猜想总体上仍未解决。Chvátal 与 Erdős 证明了对于任意整数 $k\ge 1$，每个至少三个顶点的 $\max\{2,k\}$-连通 $(k+1)P_1$-自由图是哈密顿的。沿 Chvátal-Erdős 定理，Shi 与 Shan 证明了对于任意整数 $k\ge 4$，每个至少三个顶点的 $4$-坚韧 $2k$-连通 $(P_2\cup kP_1)$-自由图是哈密顿的，并进一步提出猜想：对于任意整数 $k\ge 1$，任意 $1$-坚韧 $2k$-连通 $(P_2\cup kP_1)$-自由图是哈密顿的。本文证实了该猜想，并进一步表明若 $k\ge 3$，则“$2k$-连通”条件可弱化为“$2(k-1)$-连通”。作为直接推论，对于任意整数 $k\ge 3$，每个 $(k-1)$-坚韧 $(P_2\cup kP_1)$-自由图是哈密顿的。这改进了 Hatfield 与 Grimm 的结果，即每个 $3$-坚韧 $(P_2\cup 3P_1)$-自由图是哈密顿的。