关于 $4$-坚韧 $(P_2\cup kP_1)$-自由图中哈密顿圈的注记

设 $t>0$ 为实数，$G$ 为图。若对 $G$ 的每个割集 $S$，$|S|$ 与 $G-S$ 的连通分支数之比至少为 $t$，则称 $G$ 是 $t$-坚韧的。Chvátal 的坚韧猜想称存在常数 $t_0$ 使得每个至少三个顶点的 $t_0$-坚韧图是哈密顿的，该猜想总体上仍未解决。对任意给定整数 $k\ge 1$，若 $G$ 不包含 $P_2$ 与 $k$ 个孤立顶点的不交并作为诱导子图，则称图 $G$ 是 $(P_2\cup kP_1)$ 自由的。在本注记中，我们证明每个至少三个顶点的 4-坚韧且 $2k$-连通的 $(P_2\cup kP_1)$-自由图是哈密顿的。该结果在某种意义上是经典 Chvátal-Erdős 定理的“推广”，即每个至少三个顶点的 $\max\{2,k\}$-连通 $(k+1)P_1$-自由图是哈密顿的。