关于坚韧图与哈密顿度条件的闭包引理

图 $G$ 的闭包是通过反复在度之和至少为 $n$ 的非相邻顶点对之间添加边而得到的图 $G^*$，其中 $n$ 为 $G$ 的顶点数。Bondy 与 Chv\'atal 证明的著名闭包引理指出，图 $G$ 是哈密顿图当且仅当其闭包 $G^*$ 是。该引理可用于证明哈密顿图论中的若干经典结果。我们证明了坚韧图版本的一个闭包引理。若对 $G$ 的任意顶点集 $S$，$G-S$ 的连通分支数至多为 $t |S|$，则称图 $G$ 是 $t$-坚韧的。哈密顿图必然是 1-坚韧的。反之，Chv\'atal 猜想存在常数 $t$ 使得每个 $t$-坚韧图都是哈密顿图。图 $G$ 的{\it $t$-闭包}是通过反复在度之和至少为 $n-t$ 的非相邻顶点对之间添加边而得到的图 $G^{t*}$。我们证明，对 $t\geq 2$，$\frac{3t-1}{2}$-坚韧图 $G$ 是哈密顿图当且仅当其 $t$-闭包 $G^{t*}$ 是。Ho\`ang 猜想如下：设 $G$ 为度序列 $d_1 \leq d_2 \leq \ldots \leq d_n$ 的图；若 $G$ 是 $t$-坚韧的且 $\forall i <\frac{n}{2},\mbox{ 若 } d_i\leq i \mbox{ 则 } d_{n-i+t}\geq n-i$，则 $G$ 是哈密顿图。该猜想类似于著名的 Chv\'atal 关于哈密顿理想的定理。Ho\`ang 证明了 $t \leq 3$ 时的猜想。利用坚韧图的闭包引理，我们证明了 $t = 4$ 时的猜想。