关于 tough 图中 Hamiltonicity 的度序列条件的加强

将 Chv\'atal 经典的 1972 年结果推广，Ho\`ang 于 1995 年提出了以下猜想，从 toughness 的角度加强了 Chv\'atal 的结果：设 $t\ge 1$ 为正整数，$G$ 为 $n \ge 3$ 个顶点的 $t$-tough 图，其度序列为 $d_1, d_2, \dots, d_n$，按非递增顺序排列。假设对每个 $i\in [1, \lfloor\frac{n-1}{2} \rfloor]$，若 $d_i \le i$ 且 $d_{n-i+t} < n - i$，则蕴含对所有 $j\in [i+1, \lfloor\frac{n-1}{2} \rfloor]$ 有 $d_j + d_{n-j+t} \ge n$，那么 $G$ 是 Hamilton 的。Ho\`ang 验证了 $t=1$ 时该猜想成立。在本文中，我们验证了该猜想对所有 $t\ge 4$ 均成立。我们的证明依赖于我们先前建立的关于 $t\ge 4$ 的 toughness 闭包引理。此外，我们证明了该 toughness 闭包引理在 $t=1$ 时不成立。