几乎所有图及其可诱导性的精确最大诱导密度

设 $H$ 为具有 $h$ 个顶点的图。$H$ 在图 $G$ 中的诱导拷贝数记为 $i_H(G)$。令 $i_H(n)$ 表示在所有具有 $n$ 个顶点的图 $G$ 上取的 $i_H(G)$ 的最大值。令 $f(n,h) = \Pi_{i}^h a_i$,其中 $\sum_{i=1}^h a_i = n$ 且 $a_i$ 尽可能相等。令 $g(n,h) = f(n,h) + \sum_{i=1}^h g(a_i,h)$。证明了对于几乎所有具有 $h$ 个顶点的图 $H$,对所有 $n \le 2^{\sqrt{h}}$ 成立 $i_H(n)=g(n,h)$。更精确地,我们定义显式图性质 ${\cal P}_h$,当 $H$ 满足该性质时,保证对所有 $n \le 2^{\sqrt{h}}$ 有 $i_H(n)=g(n,h)$。特别地,证明了具有 $h$ 个顶点的随机图以概率 $1-o_h(1)$ 满足 ${\cal P}_h$。此外,确定了在上述范围内达到 $i_H(n)$ 的所有极值的 $n$ 顶点图。我们还证明了一个稳定性结果。对于 $H \in {\cal P}_h$ 和具有 $n \le 2^{\sqrt{h}}$ 个顶点且满足 $i_H(G) \ge f(n,h)$ 的图 $G$,必有 $G$ 是通过在 $H$ 的均衡吹胀的各吹胀部分内部添加一些边而得到的。$H$ 的{\em 可诱导性}为 $i_H = \lim_{n \rightarrow \infty} i_H(n)/\binom{n}{h}$。已知对所有图 $H$ 有 $i_H \ge h!/(h^h-h)$,且随机图 $H$ 几乎必然满足 $i_H \le h^{3\log h}h!/(h^h-h)$。我们改进了这一上界,几乎匹配下界。证明了满足 ${\cal P}_h$ 的图 $H$ 有 $i_H =(1+O(h^{-h^{1/3}}))h!/(h^h-h)$。