关于 $P_5$-自由图的 Erdős-Hajnal 猜想的研究进展

Erdős-Hajnal 猜想是极值与结构组合学中最经典且著名的问题之一，可追溯到 1977 年。它断言，与一般的 $n$ 顶点图的情况形成鲜明对比的是，如果对图施加哪怕一点点结构限制，即禁止某个固定图 $H$ 作为诱导子图，那么人们可以找到的不是仅具有多对数大小的团或独立集，而是多项式大小的团或独立集。尽管多年来该猜想备受关注，但至今仍未解决。在本文中，我们在最小的未解决情形，即禁止 $P_5$（5 个顶点上的路径）时，改进了该问题上由 Erdős 和 Hajnal 于 1989 年给出的最佳已知下界 $2^{\Omega(\sqrt{\log n})}$。具体而言，我们证明任何 $P_5$-自由的 $n$ 顶点图都包含一个大小至少为 $2^{\Omega(\log n)^{2/3}}$ 的团或独立集。我们的方法也对无穷族图带来了同样的改进。