Erdős-Hajnal猜想的一种算法弱化

我们研究$H$-自由图（即不承认$H$为导出子图的图）中最大独立集（MIS）问题的可近似性。作为一个动机，我们研究如下猜想：对每个固定图$H$，存在常数$\delta > 0$，使得MIS在$H$-自由图中可被$n^{1 - \delta}$近似，其中$n$表示输入图的顶点数。我们首先证明著名的Erdős-Hajnal猜想的一个构造性版本蕴含我们的猜想。然后我们证明满足我们猜想的图$H$的集合在所谓的图替换下是封闭的。这一点，连同已知的$H$-自由图中MIS的多项式时间算法（例如$P_6$-自由图和fork-free图），意味着我们的猜想对许多Erdős-Hajnal猜想仍开放的图$H$成立。我们随后致力于改进某些图类的常数$\delta$：我们证明经典的局部搜索算法在$K_{t,t}$-自由图中提供$OPT^{1-\frac{1}{t}}$-近似（因此在$C_4$-自由图中提供$\sqrt{OPT}$-近似），并且虽然在三角形自由图中存在简单的$\sqrt{n}$-近似，但对于任意$\varepsilon > 0$它不能被改进到$n^{\frac{1}{4}-\varepsilon}$，除非$NP \subseteq BPP$。更一般地，我们证明存在常数$c$，使得围长为$\gamma$的图中的MIS不能被$n^{\frac{c}{\gamma}}$近似。在指数上相差常数因子范围内，这与Monien和Speckenmeyer以及Murphy的已知近似算法的比率相匹配。据我们所知，这是在真遗传类中最大独立集的第一个强（即对某些$\delta > 0$为$\Omega(n^\delta)$）不可近似性结果。