毛毛虫图及其补图的 Erd\H{o}s-Hajnal 猜想

著名的 Erd\H{o}s-Hajnal 猜想指出，对于每一个真遗传图类 $\mathcal{G}$，存在一个常数 $\varepsilon = \varepsilon(\mathcal{G}) > 0$，使得每个图 $G \in \mathcal{G}$ 都包含一个大小为 $|V(G)|^\varepsilon$ 的团或独立集。最近，人们对该猜想的对称化变体越来越感兴趣，其中额外要求 $\mathcal{G}$ 在补图运算下封闭。我们证明，任何在补图运算下封闭且排除固定毛毛虫作为导出子图的遗传图类都满足 Erd\H{o}s-Hajnal 猜想。这里，毛毛虫是指度数至少为 3 的顶点位于单一路径上的树（即我们的毛毛虫可以拥有任意长的“腿”）。事实上，我们证明了此类图类的一个更强性质，文献中称为强 Erd\H{o}s-Hajnal 性质：对于每个此类图类 $\mathcal{G}$，存在一个常数 $\delta = \delta(\mathcal{G}) > 0$，使得每个图 $G \in \mathcal{G}$ 都包含两个不相交的集合 $A,B \subseteq V(G)$，每个集合的大小至少为 $\delta|V(G)|$，使得 $A$ 和 $B$ 之间的所有边要么都在 $G$ 中，要么都不在。这一结果显著扩展了已知满足强 Erd\H{o}s-Hajnal 性质的图类家族；对于排除图 $H$ 及其补图的图类，此前仅已知路径 [Bousquet, Lagoutte, Thomass\'{e}, JCTB 2015] 和钩形图（即在路径第三个顶点处附加一个悬挂顶点的路径）[Choromanski, Falik, Liebenau, Patel, Pilipczuk, arXiv:1508.00634] 满足该性质。