强 EH-性质与 Erd\H{o}s-Hajnal 猜想

Erd\H{o}s-Hajnal 猜想断言：对于每个图 $H$，存在常数 $\epsilon(H)>0$，使得每个不包含 $H$ 作为诱导子图的图 $G$，都包含一个大小至少为 $|V(G)|^{\epsilon(H)}$ 的团或稳定集。该猜想目前尚未解决。不久前，其有向版本被提出（见：\cite{alon}）。在有向版本中，图被替换为竞赛图，团和稳定集被替换为传递子竞赛图。如果该猜想不成立，则最小的反例是一个素竞赛图。长期以来，该猜想仅对有限多个素竞赛图成立。最近，在 \cite{bcc} 和 \cite{choromanski2} 中，该猜想在包含无限多个素竞赛图的星系族和星座族上得到证明。在 \cite{bcc} 中，该猜想也对所有 $5$ 顶点竞赛图得到证明。如果一个竞赛图 $H$ 满足该猜想，我们称其具有 $EH$-性质。在本文中，我们引入了所谓的\textit{强 EH-性质}，这不仅使我们能够针对新的素竞赛图证明该猜想，更有趣的是，它提供了一种机制，可将满足该猜想的竞赛图组合起来，从而得到同样满足该猜想的更大竞赛图，而这些更大的竞赛图未必是非素的。此前已知的唯一一种从满足该猜想的较小竞赛图构造满足该猜想的较大竞赛图的过程是所谓的\textit{替换过程}（见：\cite{alon}）。然而，该过程的输出始终是非素竞赛图，而如前所述，素竞赛图在该猜想的研究中起着至关重要的作用。我们的方法有可能用于证明该猜想在若干新类竞赛图上成立。