竞赛图与强 Erd\H{o}s-Hajnal 性质

Alon、Pach 与 Solymosi 的一个猜想（等价于著名的 Erd\H{o}s-Hajnal 猜想）指出：对每个竞赛图 $S$，存在 $\epsilon(S)>0$，使得若 $T$ 是一个不含 $S$ 作为子竞赛图的 $n$ 顶点竞赛图，则 $T$ 包含一个至少有 $n^{\epsilon(S)}$ 个顶点的传递子竞赛图。令 $C_5$ 为唯一的五顶点竞赛图，其中每个顶点有两个入邻点和两个出邻点。已知 Alon-Pach-Solymosi 猜想在 $S=C_5$ 时成立。本文证明该结果的一个加强：在每一个不含同构于 $C_5$ 的子竞赛图的竞赛图 $T$ 中，存在不相交的顶点子集 $A$ 与 $B$，各自包含 $T$ 顶点的线性比例，且满足 $A$ 中每个顶点都与 $B$ 中每个顶点相邻。