局部竞赛图的第二外邻域

Sullivan 提出了如下猜想：(1) 每个有向图 $D$ 存在一个顶点 $x$ 使得 $d^{++}(x)\geq d^{-}(x)$；(2) 每个有向图 $D$ 存在一个顶点 $x$ 使得 $d^{++}(x)+d^{+}(x)\geq 2d^{-}(x)$。本文中，我们证明这些猜想对局部竞赛图成立。具体而言，对局部竞赛图 $D$，若其无入度为零的顶点，则证明 $D$ 至少有两个顶点满足 (1)。并且，对局部竞赛图 $D$，若其无入度为零的顶点，则证明要么存在两个顶点满足 (2)，要么存在顶点 $v$ 满足 $d^{++}(v)+d^{+}(v)\geq 2d^{-}(v)+2$。