关于Seymour与Sullivan的第二邻域猜想

对于有向图的一个顶点$x$,$d^+(x)$($d^-(x)$,分别)为与$x$距离为1的(到$x$距离为1的,分别)顶点数,$d^{++}(x)$为与$x$距离为2的顶点数。1995年,Seymour猜想任意定向图$D$存在一个顶点$x$使得$d^+(x)\leq d^{++}(x)$。2006年,Sullivan猜想$D$中存在一个顶点$x$使得$d^-(x)\leq d^{++}(x)$。我们给出了用可传递三角形个数表示的、使定向图满足Sullivan猜想的一个充分条件。特别地,这蕴含Sullivan猜想对平面图与无三角形图的所有定向均成立。若定向图$D$的顶点可划分为顶点集$X$和$Y$,使得$X$为独立集且$Y$导出竞赛图,则称$D$为定向分裂图。我们还证明了这两个猜想对若干类定向分裂图成立,特别是当$Y$导出正则或几乎正则竞赛图时。