顶点子集上的 Seymour 第二邻域猜想

Seymour 猜想每个有向简单图都包含一个其第二邻域至少与其第一邻域一样大的顶点。在本文中，我们提出一个我们证明实际等价的猜想：每个有向简单图都包含一个顶点子集 $S$，其第二邻域至少与其第一邻域一样大。这一子集视角对原猜想提供了一些洞见。例如，若存在一个最小度 $\delta$ 的第二邻域猜想反例，则存在一个至多有 ${\delta + 1 \choose 2}$ 个顶点的反例。给定顶点 $v$，令 $d_1^+(v)$ 和 $d_2^+(v)$ 分别为其第一和第二邻域的大小。若一个 digraph 不存在 $m$ 个或更少顶点的有向圈，则称其为 $m$-free。令 $\lambda_m$ 为这样的最大值：每个 $m$-free 图都包含一个顶点 $v$ 满足 $d_2^+(v) \geq \lambda_m d_1^+(v)$。第二邻域猜想蕴含对所有 $m \geq 2$ 有 $\lambda_m = 1$。Liang 和 Xu 给出了所有 $\lambda_m$ 的下界，并证明当 $m \to \infty$ 时 $\lambda_m \to 1$。我们利用该子集视角改进了 Liang 和 Xu 对 $m \geq 3$ 的界。