Seymour 第二邻域猜想在(伪)随机图定向中的研究

Seymour 第二邻域猜想(SNC)指出,每个有向图都包含一个其第二邻域不小于第一邻域的顶点。我们研究了二部随机图和伪随机图定向下的 SNC,在渐近几乎必然(a.a.s.)意义下验证了:(i) 若 $\limsup_{n\to\infty} p < 1/4$,对 $G(n,p)$ 的所有定向均成立;以及 (ii) 对阶为 $n$、密度为 $p$ 的每个弱 $(p,A\sqrt{np})$-双混杂图的一个均匀随机定向成立,其中 $p=\Omega(n^{-1/2})$、$1-p = \Omega(n^{-1/6})$,且 $A>0$ 是与 $n$ 和 $p$ 均无关的绝对常数。我们还证明 a.a.s. 下 SNC 对 $G(n,p)$ 的几乎所有定向都成立。更具体地,我们证明 a.a.s. 下:(iii) 对所有 $\varepsilon > 0$ 及满足 $\limsup_{n\to\infty} p \le 2/3-\varepsilon$ 的 $p=p(n)$,最小出度 $\Omega_\varepsilon(\sqrt{n})$ 的 $G(n,p)$ 的每个定向均满足 SNC;以及 (iv) 对所有 $p=p(n)$,$G(n,p)$ 的随机定向满足 SNC。