Seymour 第二邻域猜想：随机图与归约

Seymour 的一个长期猜想指出，在每个有向图中都存在一个顶点，其第二出邻域至少与其出邻域一样大。在这篇简短笔记中，我们表明对于任何固定的 $p\in[0,1/2)$，几乎必然地，$G(n,p)$ 的每个定向都满足 Seymour 猜想（以及 Sullivan 的一个相关猜想）。这改进了 Botler、Moura 和 Naia 的最近结果。此外，我们表明 $p=1/2$ 是该问题的一个自然障碍，意义如下：对于任何固定的 $p\in(1/2,1)$，Seymour 猜想实际上等价于断言以远离 0 的概率，$G(n,p)$ 的每个定向都满足 Seymour 猜想。这提供了该问题的第一个归约。对于第二个归约，我们考虑最小度并表明，如果 Seymour 猜想为假，则必然存在任意大的具有有界最小出度的强连通反例。与此相反，我们表明顶点极小反例必须具有大的最小出度。