通过图层次序对西摩第二邻域猜想的最小反例证明

我们通过将问题重新表述为集合打包优化问题，提供了西摩第二邻域猜想（SSNC）的一个构造性证明。有向图的全族$\mathcal{O}$根据其最小出度$\delta$进行分类。这将目标转变为最大化非西摩顶点的数量。最小反例（MCE）是违反SSNC的顶点的最大打包。为了证明这种打包是不可持续的，我们引入了图层次序（GLOVER）。这种基于BFS的坐标系将$\mathcal{O}$划分为从最小出度节点出发的根邻域$R_i$。集合论的多重父节点解决了长期困扰西摩钻石的双重计数问题。该坐标系还将传递三角形分为八种不同类型，并证明其中七种在MCE环境中是不一致的。与BFS不同，MCE环境迫使每个父节点的第一邻域内出现环。这些环导致邻域在尺寸减小的同时需要更多弧，从而变得二次密集。证明以供需冲突结束。当$i > \frac{\delta}{3}$时，弧容量被消耗。这使得非西摩顶点的打包不可持续，迫使$\mathcal{O}$中的每个图都出现西摩顶点。识别这些顶点的算法复杂度为$O(|V|+|E|)$。这证实了该算法可以在密集且可在多项式时间内检测的大型有向网络上运行。