图上的超市模型

我们考虑超市模型的一个变体,其中服务器可以与其邻居通信,且邻域关系用合适的图描述。具有单位指数服务时间分布的任务是作为速率为 $\lambda$ 的独立泊松过程到达每个顶点的,并且每个任务被不可撤销地分配给它首次出现所在的队列及其随机选择的 $d-1$ 个邻居中最短的队列。当底层图是完全图时,该模型已被广泛研究,此时它退化为著名的 power-of-$d$ 方案。特别地,Mitzenmacher (1996) 和 Vvedenskaya 等人 (1996) 的结果表明,随着完全图的大小变大,与各服务器处队列长度相关的占用过程收敛到由无限常微分方程组(ODE)描述的确定性极限。在这项工作中,我们考虑底层图不必是完全图且允许适当稀疏的设置。我们表明,如果最小度随着服务器数量 $N$ 趋于无穷而趋于无穷(无论多慢),且每个连通分量中最大度与最小度的比值一致趋于 1,则占用过程收敛到与经典超市模型相同的 ODE 系统。特别地,占用过程的渐近行为对精确的网络拓扑不敏感。我们还研究了图序列为随机的情形,其中第 $N$ 个图给定为具有平均度 $c(N)$ 的 $N$ 个顶点上的 Erd\H{o}s-R\'enyi 随机图。在条件 $c(N)\to\infty$ 下建立了占用过程到相同确定性极限的退火收敛,并且在更强条件 $c(N)/\ln N\to\infty$ 下,对几乎所有随机图实现证明了(依概率)收敛。