具有增长选择的超市模型在近均衡处的波动

我们考虑通常马尔可夫设置下的超市模型，其中作业以速率 $n \lambda_n$（对某 $\lambda_n > 0$）到达，有 $n$ 个并行服务器各自以其队列中作业速率 1 进行处理。到达的作业加入随机选取的 $d_n \le n$ 个服务队列中最短的一个。我们证明当 $d_n \to \infty$ 且 $\lambda_n \to \lambda \in (0, \infty)$ 时，在关于初始队列的自然条件下，状态占用过程在合适路径空间中依概率收敛到由 $\lambda$ 参数化的无限约束常微分方程组的唯一解。我们的主要兴趣在于研究临界机制下（即 $\lambda_n \to 1$ 时）状态过程关于其近均衡状态的波动。先前论文考虑了 $\frac{d_n}{\sqrt{n}\log n} \to \infty$ 机制，而当前工作的目标是为状态占用过程建立扩散逼近，以允许 $d_n$ 的所有可能增长率。特别地，我们考虑三种典型机制：(a) ${d_n}/{\sqrt{n}} \to 0$；(b) ${d_n}/{\sqrt{n}} \to c\in (0,\infty)$；以及 (c) ${d_n}/{\sqrt{n}} \to \infty$。在所有三种机制中，我们通过建立合适泛函极限定理证明（在 $\lambda_n$ 条件下）状态过程关于其近均衡的波动为 $n^{-1/2}$ 阶，且渐近地由一维布朗运动支配。三种机制下极限过程的形式颇为不同：第一种得到线性扩散；第二种得到带指数漂移的扩散；第三种得到半空间中的反射扩散。在 ${d_n}/({\sqrt{n}\log n}) \to \infty$ 的特殊情形下，我们的工作为 Mukherjee 等人 2018 年建立的普适性结果提供了替代证明。