超市模型的渐近分布与混沌

在超市模型中，有 $n$ 个队列，每个队列配备一个单位速率服务器。顾客以速率 $\lambda n$ 的 Poisson 过程到达，其中 $0<\lambda <1$。每位顾客均匀随机选择 $d > 2$ 个队列，并加入其中最短的一个。已知典型队列长度的平衡分布随着 $n \to \infty$ 收敛于某个明确的极限分布。我们通过证明平衡分布与极限分布之间的总变差距离本质上为 $n^{-1}$ 量级来量化收敛速率；并且我们给出了从相当一般的初始条件（非平衡态）开始的系统的相应结果。此外，我们量化了系统表现出混沌行为的结果：我们证明固定一组队列长度的联合律与相应乘积律之间的总变差距离本质上至多为 $n^{-1}$ 量级。