一类具有快速周期采样与小型状态依赖白噪声的非线性系统的波动分析

我们考虑一个非线性微分方程，其同时受到大小为 $\varepsilon$ 的小型状态依赖布朗扰动，以及周期为 $\delta$ 的快速周期采样影响；$0<\varepsilon, \delta \ll 1$。因此，每 $\delta$ 个时间单位进行一次状态采样（测量），且状态的瞬时变化率取决于其当前值以及其最近一次采样值。我们表明，由 $\varepsilon,\delta$ 索引的所得随机过程，当 $\varepsilon,\delta \searrow 0$ 时，可被一个常微分方程（ODE）逼近，该 ODE 的向量场通过将最近采样替换为状态的当前值得到。我们接着分析该随机过程关于极限 ODE 的波动。我们的主要结果断言，对于 $\delta \searrow 0$ 的速率与 $\varepsilon \searrow 0$ 相同或更快的情形，重标度波动可在适当的强（路径wise）意义下由一极限随机微分方程（SDE）逼近。该 SDE 随 $\varepsilon,\delta \searrow 0$ 的确切速率不同而不同。此处的关键贡献在于计算了捕捉极限 SDE 中噪声与采样相互作用的有效漂移项。结果本质上为所关注随机过程提供了一阶扰动展开及误差估计。讨论了与带采样的反馈控制系统性能分析的联系，并通过一个简单例子进行了数值说明。