分析随机极限环振子的变分方法

我们引入一种变分方法，用于分析 $\mathbb{R}^d$ 中受高斯噪声驱动的极限环振子。这使我们能导出关于解振幅与相位的精确随机微分方程（SDEs），其在时间尺度 $\exp\big(Cb\epsilon^{-1}\big)$ 上准确，其中 $\epsilon$ 为噪声振幅，$b$ 为横向涨落衰减的幅度。在变分框架内，振幅-相位分解的不同选择对应于内积空间 $\mathbb{R}^d$ 的不同选择。为具体起见，我们取加权欧几里得范数，使最小化方案通过使用 Floquet 向量将完整解投影到极限环上来确定相位。由于振幅与相位方程间存在耦合，即便在弱噪声极限下，仍存在微小但非零的概率发生稀有事件：随机轨迹大幅偏离极限环邻域。我们利用振幅与相位方程来界定其发生概率：发现系统离开振子邻域的典型时间尺度为 $\exp\big(Cb\epsilon^{-1}\big)$。