具有连通性约束的图重构

图 $G$ 实现度序列 $S$，如果其顶点的度数为 $S$。Hakimi 给出了保证存在实现 $S$ 的连通多重图的充要条件。Taylor 后来证明，任何连通多重图都可通过一系列翻转（每一步保持连通性）变换为任何其他连通多重图。翻转在于用对角线 $ac$ 和 $bd$ 替换两条边 $ab$ 和 $cd$。本文中，我们研究该问题的一种推广。顶点子集的集合 $\mathcal{CC}$ 是\emph{嵌套的}，如果对每对 $C,C' \in \mathcal{CC}$，要么 $C \cap C' = \emptyset$，要么一个包含于另一个。我们感兴趣于实现度序列 $S$ 且嵌套集合 $\mathcal{CC}$ 的所有集合都导出连通子图的多重图。此类约束自然出现在串联质谱中。我们表明可以在多项式时间内判定是否存在实现 $S$ 且 $\mathcal{CC}$ 中所有集合都导出连通子图的图。此外，我们证明所有这样的图都可通过一系列翻转获得，使得所有中间图也实现 $S$ 且 $\mathcal{CC}$ 的所有集合都导出连通子图。我们的证明是算法性的，并提供了一个关于两图间最短翻转序列的多项式时间近似算法，其近似比依赖于嵌套划分的深度。