弦图中的强 Erdős-Hajnal 性质

如果一个图类 $\mathcal{G}$ 存在一个常数 $c=c(\mathcal{G}) > 0$，使得对于 $\mathcal{G}$ 中的每个成员 $G$，要么 $G$ 本身，要么其补图包含 $K_{m, m}$ 作为子图，其中 $m \geq \left\lfloor c|V(G)|\right\rfloor$，则称该图类具有强 Erdős-Hajnal 性质（SEH-性质）。我们证明了弦图类满足 SEH-性质，其常数 $c = 2/9$。另一方面，Alon 等人 (2005) 和 Fox 等人 (2012) 在几何背景下讨论了一种 SEH-性质的加强形式，我们称之为多彩 Erdős-Hajnal 性质。受他们结果的启发，我们证明：对于一棵具有 $k$ 个叶子的树 $T$ 中任意两个大小相同的子树族 $F_1, F_2$，存在子族 $F'_1 \subseteq F_1$ 和 $F'_2 \subseteq F_2$，其大小为 $\theta \left( \frac{\ln k}{k} \left| F_1 \right|\right)$，使得要么来自不同子族的每一对代表都相交，要么每一对这样的代表都不相交。我们的结果是渐近最优的。