关于无限小类 Erdős-Pósa 二元性的障碍

设 ${\cal G}$ 和 ${\cal H}$ 为无限小类图。若存在函数 $f$，使得对于每个 $k$ 和每个 $G\in{\cal G}$，要么 $G$ 中存在 $k$ 个两两顶点不相交的子图且不属于 ${\cal H}$，要么存在集合 $S\subseteq V(G)$ 使得 $|S|\leq f(k)$ 且 $G-S\in{\cal H}$，则称 $({\cal H},{\cal G})$ 为 Erdős-Pósa 二元性对 (EP 对)。经典的 Erdős-Pósa 定理表明若 $\mathcal{F}$ 为森林类，则 $({\cal F},{\cal G})$ 对任意 ${\cal G}$ 均为 EP 对。若 ${\cal G}$ 为使 $({\cal H},{\cal G})$ 非 EP 对的最小类，则称 ${\cal G}$ 为 ${\cal H}$ 的 EP 反例。我们证明对任意 ${\cal H}$，其所有 EP 反例的集合 $\mathfrak{C}_{\cal H}$ 为有限集。具体而言，我们为每个 ${\cal H}$ 给出 $\mathfrak{C}_{\cal H}$ 的完整描述，并给出其规模的构造性上界。每个 ${\cal G}\in \mathfrak{C}_{\cal H}$ 可描述为序列网格状图 $\langle \mathscr{W}_{k} \rangle_{k\in \mathbb{N}}$ 的若干个小图。此外，每个 $\mathscr{W}_{k}$ 均可实现半整 packing：$k$ 个某 $H\not\in{\cal H}$ 的副本且不存在顶点被使用超过两次。这给出了 Erdős-Pósa 属性关于小图半整性阈值的完整划分，并给出了 Thomas 关于小图半整性 Erdős-Pósa 属性的构造性证明（此结论由 Liu 最近以非构造性方式确认）。设 $h$ 为 ${\cal H}$ 中图的最大尺寸。对每个 ${\cal H}$，我们构造算法：给定图 $G$ 与 $k$，要么输出 $k$ 个某 $H \not\in {\cal H}$ 的半整 packing，要么输出至多 ${2^{k^{{\cal O}_h(1)}}}$ 个顶点集合，其删除后生成 ${\cal H}$ 中的图，时间复杂度为 $2^{2^{k^{{\cal O}_h(1)}}}\cdot |G|^4\log |G|$。