多重阿贝尔群标号图中圈的统一 Erdős–Pósa 定理

1965 年，Erdős 与 Pósa 证明：圈填充的最大尺寸与命中所有圈的极小顶点集尺寸之间存在（近似）对偶性。此种对偶性对奇圈不成立，Dejter 与 Neumann-Lara 于 1988 年提问找出所有使该对偶性对长度模 $z$ 为 $\ell$ 的圈族成立的整数对 ${(\ell, z)}$。我们刻画了所有此类整数对，并进一步将该刻画推广到标以有界多个阿贝尔群、其取值避开每个群中有界多个元素的图中的圈。这统一了几乎所有已知的具有此种对偶性的圈类型，并给出了新结果。此外，我们刻画了此情形下该对偶性的阻碍，从而获得了可嵌入固定紧致可定向曲面的图中圈的一个类似刻画。