一个谱 Erdős-Pósa 定理

一组圈若其中任意两个无公共顶点，则称为独立的。令 $S_{n, 2k-1}$ 为完全分裂图，即大小为 $2k-1$ 的团与大小为 $n-2k+1$ 的独立集的联图。1962 年，Erdős 与 Pósa 建立了如下边极值结果：对阶为 $n$ 且不含 $k$ 个独立圈的每个图 $G$，其中 $k\geq2$ 且 $n\geq 24k$，有 $e(G)\leq (2k-1)(n-k)$，等号成立当且仅当 $G\cong S_{n,2k-1}$。本文证明了一个谱版本的 Erdős-Pósa 定理。令 $k\geq1$ 且 $n\geq \frac{16(2k-1)}{\lambda^{2}}$，其中 $\lambda=\frac1{120k^2}$。若 $G$ 是不含 $k$ 个独立圈的阶为 $n$ 的图，则 $\rho(G)\leq \rho(S_{n,2k-1})$，等号成立当且仅当 $G\cong S_{n,2k-1}$。这给出了边极值问题具有谱类比的一个新例证。最后提出一个相关问题以供进一步研究。