非二部图中无C_{2k+1}图的最长奇圈

在加强Andrásfai、Erdős和Sós于1974年的结果时，Häggkvist证明了：若G是一个n顶点、无C_{2k+1}的图且最小度δ(G)>2n/(2k+3)，且n>C(k+2,2)(2k+3)(3k+2)，则G不含长度大于(k+1)/2的奇圈。该结果有许多应用。在本文中，我们通过用边数条件替代最小度条件来考虑一个类似的问题。我们证明：对于整数n、k、r，其中k≥2，3≤r≤2k，且n≥2(r+2)(r+1)(r+2k)，若G是一个n顶点、无C_{2k+1}的图且边数e(G)≥⌊(n−r+1)²/4⌋+C(r,2)，则G不含长度大于r的奇圈。该构造表明该结果是最优的。这推广了Brandt的结果（离散应用数学，1997）、Bollobás和Thomason的结果（组合论B系列，1999）以及Caccetta和Jia的结果（图与组合，2002），并由Lin、Ning和Wu独立证明（组合概率与计算，2021）。最近，Ren、Wang、Yang和第二作者（SIAM离散数学，2024）证明：对于3≤r≤2k且n≥318(r−2)²k，每个n顶点、无C_{2k+1}且e(G)≥⌊(n−r+1)²/4⌋+C(r,2)的图可通过删除至多r−2个顶点或删除至多C(⌊r/2⌋,2)+C(⌈r/2⌉,2)条边变为二部图。作为应用，我们推导了该结果并给出了一个简洁证明。