多阿贝尔群标号图中圈的统一半整数 Erdős-Pósa 定理

Erdős 与 Pósa 于 1965 年证明，圈填充的最大尺寸与命中所有圈的顶点集的最小尺寸之间存在对偶性。若限制为奇圈，则这种对偶性不成立。然而，Reed 在 1999 年通过将填充放宽为半整数填充，证明了奇圈的一个类似定理。我们证明了 Reed 定理的一个深远推广：若图的边由有限多个阿贝尔群标号，则对于各阿贝尔群取值避开固定有限集的圈之半整数填充的最大尺寸，与命中所有此类圈的顶点集的最小尺寸之间存在对偶性。大量自然的圈性质可在此框架下编码，例如长度至少为 $\ell$ 的圈、长度模 $q$ 余 $p$ 的圈、与给定顶点集相交至少 $t$ 次的圈，以及嵌入在固定曲面上的图中给定 $\mathbb{Z}_2$-同调类所含的圈。我们的主要结果使我们能够针对满足一组有限多个此类性质的圈证明一个对偶定理。