比 Erdős-Pósa 更快的圈填充

Cycle Packing 问题询问给定无向图 $G=(V,E)$ 是否包含 $k$ 个顶点不交的圈。自 1965 年经典的 Erdős-Pósa 定理发表以来，该问题在图论与算法设计领域受到了显著的科学关注。特别地，该问题是参数化复杂性框架下最早被研究的问题之一。Cycle Packing 的非一致固定参数可处理性由 Robertson-Seymour 定理得出，这一事实在 1980 年代已被 Fellows 和 Langston 观察到。1994 年，Bodlaender 表明 Cycle Packing 可在时间 $2^{\mathcal{O}(k^2)}\cdot |V|$ 内使用指数空间求解。若存在解，Bodlaender 的算法还输出一个解（在相同时间内）。后来，Cycle Packing 存在一个使用指数空间的 $2^{\mathcal{O}(k\log^2k)}\cdot |V|$ 时间（确定性）算法已成为常识，这是 Erdős-Pósa 定理的推论。如今，该算法的设计被作为参数化复杂性教科书的练习给出。然而，尚无运行时间 $2^{o(k\log^2k)}\cdot |V|^{\mathcal{O}(1)}$、打破界限 $2^{\mathcal{O}(k\log^2k)}\cdot |V|^{\mathcal{O}(1)}$ 的算法被发现。鉴于此，似乎很自然地询问 $2^{\mathcal{O}(k\log^2k)}\cdot |V|^{\mathcal{O}(1)}$ 界限是否本质上最优。在本文中，我们通过为 Cycle Packing 开发一种 $2^{\mathcal{O}(\frac{k\log^2k}{\log\log k})}\cdot |V|$ 时间（确定性）算法，对这个问题给出否定回答。若存在解，我们的算法也在相同时间内输出一个解。此外，除了打破界限 $2^{\mathcal{O}(k\log^2k)}\cdot |V|^{\mathcal{O}(1)}$，我们的算法在 $|V|$ 上线性运行，且其空间复杂度在输入规模上是多项式的。