基于顶点的 Erdős-Gallai 路径与循环定理局部化

对于简单图 $G$，设 $n$ 和 $m$ 分别为图中顶点数和边数。 Erdős-Gallai 定理中关于路径的表述指出，在简单 $P_k$-自由图中，$m \leq \frac{n(k-1)}{2}$，其中 $P_k$ 表示长度为 $k$（即具有 $k$ 条边）的路径。在本文中，我们推广该结果如下：对于每个 $v \in V(G)$，设 $p(v)$ 为包含顶点 $v$ 的最长路径的长度。我们证明了 $$m \leq \sum_{v \in V(G)} \frac{p(v)}{2}$$ 关于循环的 Erdős-Gallai 定理表述指出，在边数不超过 $k$ 的简单图 $G$ 中，$m \leq \frac{k(n-1)}{2}$，其中 $k$ 为图的周长（即最长循环的长度）。我们加强了该结果如下：对于每个 $v \in V(G)$，设 $c(v)$ 为包含顶点 $v$ 的最长循环的长度，若 $v$ 不属于任何循环则设为 $2$。我们证明了 $$m \leq \left( \sum_{v \in V(G)} \frac{c(v)}{2} \right) - \frac{c(u)}{2}$$ 其中 $c(u)$ 表示图的周长。\newline 此外，我们描述了实现这些界限等号的极值图的特征。