Erdős–Gallai 定理关于圈和路的稳定性

Erdős–Gallai 定理指出，对于 $k \geq 2$，每个平均度大于 $k - 2$ 的图都包含一条 $k$ 个顶点的路。这一结果是 Kopylov 一个更强结果的推论：若 $k$ 为奇数，$k=2t+1\geq 5$，$n \geq (5t-3)/2$，且 $G$ 是一个具有至少 $h(n,k,t) := {k-t \choose 2} + t(n -k+ t)$ 条边的 $n$ 顶点 $2$-连通图，则 $G$ 包含一个长度至少为 $k$ 的圈，除非 $G = H_{n,k,t} := K_n - E(K_{n - t})$。本文证明了 Erdős–Gallai 定理的一个稳定性版本：我们证明，对于所有 $n \geq 3t > 3$ 以及 $k \in \{2t+1,2t + 2\}$，每个满足 $e(G) > h(n,k,t-1)$ 的 $n$ 顶点 $2$-连通图 $G$，要么包含一个长度至少为 $k$ 的圈，要么包含一个由 $t$ 个顶点组成的集合，移除这些顶点后得到一个星森林。特别地，若 $k = 2t + 1 \neq 7$，我们证明 $G \subseteq H_{n,k,t}$。这些结果中的下界 $e(G) > h(n,k,t-1)$ 是紧的，且比 Kopylov 的界 $h(n,k,t)$ 小一个 $n-t-O(1)$ 的项。