Andrásfai–Erdős–Sós 型定理的一个判据及其应用

经典的 Andrásfai–Erdős–Sós 定理指出，对于 $\ell\ge 2$，每个具有 $n$ 个顶点、最小度大于 $\frac{3\ell-4}{3\ell-1}n$ 且不含 $K_{\ell+1}$ 的图必定是 $\ell$-部的。我们为 $r$-图 ($r \geq 2$) 建立了一个简单的判据，以判断其是否具有 Andrásfai–Erdős–Sós 型性质，该性质也被称为度稳定性。这导致了对大多数先前研究的具有此性质的超图族进行了分类。结合 Keevash–Lenz–Mubayi 的一个一般性定理，该结果的一个直接应用是解决了一大类超图的谱 Turán 问题。对于每个具有度稳定性的 $r$-图 $F$，存在一个简单的算法，可以在 $O(n^r)$ 时间内判定一个具有 $n$ 个顶点且最小度大于 $(\pi(F) - \varepsilon_F)\binom{n}{r-1}$ 的 $r$-图是否不含 $F$，其中 $\varepsilon_F >0$ 是一个常数。特别地，对于完全图 $K_{\ell+1}$，我们可以取 $\varepsilon_{K_{\ell+1}} = (3\ell^2-\ell)^{-1}$，并且除非 $\mathbf{W[1]} = \mathbf{FPT}$，否则这个界在某个常数乘性因子范围内是紧的。基于 Chen–Huang–Kanj–Xia 的一个结果，我们进一步证明，对于每个固定的 $C > 0$，如果我们将 $\varepsilon_{K_{\ell+1}}$ 替换为 $(C\ell)^{-1}$，那么除非 $\mathbf{ETH}$ 失败，否则该问题无法在 $n^{o(\ell)}$ 时间内解决。此外，我们应用 $K_{\ell+1}$ 的度稳定性，在 $(\ell+1)n^2$ 时间内判定大小接近 Turán 界的图是否不含 $K_{\ell+1}$，部分改进了 Fomin–Golovach–Sagunov–Simonov 的一个近期结果。作为一个中间步骤，我们证明对于一类特定的 $r$-图 $F$，只要输入的 $r$-图有 $n$ 个顶点且具有较大的最小度，其（满射）$F$-染色问题可以在 $O(n^r)$ 时间内解决，这改进了先前的一些结果。