关于图周长的稳定性结果

本文扩展并改进了关于给定周长图的 Turán 型结果。令 $W_{n,k,c}$ 表示从团 $K_{c-k+1}$ 出发，添加 $n-(c-k+1)$ 个孤立顶点并将每个孤立顶点连接到该团的相同 $k$ 个顶点所得到的图，记 $f(n,k,c)=e(W_{n,k,c})$。Kopylov 改进了 Erd\H{o}s 和 Gallai 的一个著名定理，证明了对于 $c<n$，任何具有 $n$ 个顶点且周长为 $c$ 的 2-连通图 $G$ 的边数至多为 $\max{f(n,2,c),f(n,\lfloor\frac{c}{2}\rfloor,c)}$。最近，F"uredi 等人证明了 Kopylov 定理的一个稳定性版本。他们的主要结果表明，如果 $G$ 是一个具有 $n$ 个顶点且周长为 $c$ 的 2-连通图，满足 $10\leq c<n$ 且 $e(G)>\max{f(n,3,c),f(n,\lfloor\frac{c}{2}\rfloor-1,c)}$，那么要么 $G$ 是 $W_{n,2,c}$ 或 $W_{n,\lfloor\frac{c}{2}\rfloor,c}$ 的子图，要么 $c$ 为奇数且 $G$ 是我们定义为 $\mathcal{X}_{n,c}$ 和 $\mathcal{Y}_{n,c}$ 的两个特征良好族中某个成员的子图。我们证明了如果 $G$ 是一个具有 $n$ 个顶点、最小度至少为 $k$ 且周长为 $c$ 的 2-连通图，满足 $10\leq c<n$ 且 $e(G)>\max{f(n,k+1,c),f(n,\lfloor\frac{c}{2}\rfloor-1,c)}$，则以下情形之一成立：(i) $G$ 是 $W_{n,k,c}$ 或 $W_{n,\lfloor\frac{c}{2}\rfloor,c}$ 的子图；(ii) $k=2$，$c$ 为奇数，且 $G$ 是 $\mathcal{X}_{n,c}\cup \mathcal{Y}_{n,c}$ 中某个成员的子图；或者 (iii) $k\geq 3$ 且 $G$ 是一个团 $K_{c-k+1}$ 与若干团 $K_{k+1}$ 之并的子图，其中任意两个团共享相同的两个顶点。这不仅统一推广了上述 F"uredi 等人的结果，也独立推广了 Li 等人以及 F"uredi 等人关于非 Hamilton 图的近期结果。此外，我们还证明了关于 Bondy 周长经典定理的一个稳定性结果。