Erdős-Gallai定理与Luo定理的推广及其应用

关于路Turán数的著名Erdős-Gallai定理指出，每个具有$n$个顶点和$m$条边的图都包含一条至少有$\frac{2m}{n}$条边的路。在本注记中，我们首先通过建立Erdős-Gallai定理的一个简单而新颖的推广，证明了每个图$G$都包含一条至少有$\frac{(s+1)N_{s+1}(G)}{N_{s}(G)}+s-1$条边的路，其中对于$1\leq j\leq\omega(G)$，$N_j(G)$表示$G$中$j$-团的数目。我们还构造了一族图，表明我们的推广改进了Erdős-Gallai定理给出的估计。在应用中，我们证明了例如\cite{L17}的主要结果（关于不含具有$l$个顶点的路（且不含长度至少为$c$的圈）的$n$顶点图中$s$-团的最大可能数目）可以容易地由该推广推出。事实上，为了证明这些结果，Luo \cite{L17}推广了Kopylov的一个经典定理，并建立了周长小于$c$的$n$顶点2-连通图中$s$-团数的紧上界。我们对周长小于$c$且最小度较大的$n$顶点2-连通图证明了类似的结果。我们以将我们的结果应用于谱极图理论中图上连续圈长问题作结。