边谱 Erdős-Stone-Simonovits 定理及其稳定性

我们研究与谱半径 $\lambda (G)$ 相关的极值问题，其中 $F$-免疫图 $G$ 的边数为 $m$。首先，我们证明对于任意图 $F$，若其色数 $\chi (F)=r+1\ge 3$，则若 $G$ 为 $F$-免疫图且拥有 $m$ 条边，则有 $\lambda^2(G)\le {(1-\frac{1}{r} + o(1))2m}$。这为统一扩展 Erdős--Stone--Simonovits 定理及其由 Nikiforov 提出的顶点谱版本提供了统一的框架，并确认了 Li、Liu 和 Feng 提出的猜想。我们还建立了相应的边谱稳定性结果，表明若 $G$ 为 $F$-免疫图且 $\lambda^2(G)=(1- \frac{1}{r} - o(1))2m$，则当 $r=2$ 时，$G$ 与完全二分图相差 $o(m)$ 条边；当 $r\ge 3$ 时，$G$ 与 $r$ 部分 Turán 图相差 $o(m)$ 条边。这扩展了经典的 Erdős--Simonovits 稳定性定理。作为本方法的应用，我们改进了 Zhai、Lin 和 Shu 的结果，表明若 $\lambda (G)>\sqrt{m}$，则图中存在两个顶点，它们至少有 $\frac{1}{2}\sqrt{m} - O(1)$ 个公共邻居。此界限通过随机构造得到最佳。