一个谱版本的 Erdős-Faudree-Rousseau 定理

Mantel 的一个著名定理指出，每个具有超过 $\lfloor n^2/4\rfloor$ 条边的 $n$ 顶点图都包含一个三角形。极值图论中的一个有趣问题研究在给定顶点数和边数的图中，包含在三角形中的边的最小数量。Erdős、Faudree 和 Rousseau（1992）证明，一个具有超过 $\lfloor n^2/4\rfloor$ 条边的 $n$ 顶点图至少包含 $2\lfloor n/2\rfloor +1$ 条边在三角形中。这样的边被称为三角形边。在本文中，我们给出了 Erdős、Faudree 和 Rousseau 结果的一个谱版本。利用过饱和-稳定性方法和谱技术，我们证明每个满足 $\lambda (G) \ge \sqrt{\lfloor n^2/4\rfloor}$ 的 $n$ 顶点图 $G$ 至少包含 $2 \lfloor {n}/{2} \rfloor -1$ 条三角形边，除非 $G$ 是平衡完全二部图。本文中的方法有一些有趣的应用。首先，过饱和-稳定性可用于重新审视 Erdős 关于图的书籍大小的一个猜想，该猜想最初由 Edwards（未发表）证明，并由 Khadžiiivanov 和 Nikiforov（1979）独立证明。其次，我们的方法可以改进当禁止友谊图作为子结构时谱极值图关于阶数 $n$ 的界。我们去掉了要求阶数 $n$ 足够大的条件，该条件曾由 Cioabă、Feng、Tait 和 Zhang（2020）使用三角形移除引理研究过。第三，该方法可用于推导奇圈的经典稳定性，并给出参数上更简洁的界。最后，过饱和-稳定性可用于处理关于三角形计数的谱图问题，该问题最近由 Ning 和 Zhai（2023）研究过。