无公共顶点时三角形个数更多

由Mantel的定理[5]可知，具有$n$个顶点和$\lfloor \frac{n^{2}}{4} \rfloor+1$条边的图必含一个三角形。Erd\H{o}s的一个定理给出了加强：不仅有一个，而且至少有$\lfloor\frac{n}{2}\rfloor$个三角形。我们给出进一步改进：若不存在被所有三角形包含的顶点，则至少有$n-2$个三角形。存在一些自然推广：当$(a)$考虑完全图（而非三角形），$(b)$图有$t$条额外边（不止一条）或$(c)$假定不存在$s$个顶点使得每个三角形都包含其中之一。我们未能证明这些推广，将其列为猜想。