无彩虹三角形的有向图

图论中最基本的结果之一是 Mantel 定理,它确定了阶为 $n$ 的无三角形图的最大边数。近来该问题的一个彩色变体已被解决。在此变体中,我们考虑定义在一个公共顶点集上的 $c$ 个图,将每个图视为一种不同颜色的边,并希望确定每种颜色的最小边数,以保证彩虹三角形的存在。本文中,我们针对任意数量的颜色,解决了有向图中无彩虹三角形(有向或传递)的类似问题。构造与证明在 $c=3$ 与 $c \geq 4$ 以及被禁三角形的类型上本质不同。此外,我们还解决了定向图情形下的类似问题。