彩虹三角形的 Erd\H{o}s-Hajnal 猜想

我们证明了完全图 $K_n$ 的每种不含彩虹三角形的 3-边着色都包含一个阶数为 $\Omega(n^{1/3}\log^2 n)$ 且至多使用两种颜色的顶点集，且该界在常数因子内是紧的。这验证了 Hajnal 的一个猜想，该猜想是著名的 Erd\H{o}s-Hajnal 猜想的多色推广的一种情形。我们进一步建立了该结果的推广。对于固定的正整数 $s$ 和 $r$ 且 $s \le r$，我们确定了一个常数 $c_{r,s}$，使得以下结论成立：完全图 $K_n$ 的每种不含彩虹三角形的 $r$-边着色都包含一个阶数为 $\Omega(n^{r(r-1)/s(s-1)}(\log n)^{c_{r,s}})$ 且至多使用 $s$ 种颜色的顶点集，且该界除隐含常数因子外是紧的。下界的证明利用了 Gallai 对无彩虹三角形完全图边着色的分类、Ramsey 定理的新加权扩展以及边加权图中的差异不等式。上界的证明通过考虑不含大单色团的完全图的 2-边着色的字典积，利用了 Erd\H{o}s 关于 Ramsey 数的下界。