项目几何中的彩虹三角形与Erd\H{o}s-Hajnal 问题

我们提出了适用于有限项目几何而非图形的Erd\H{o}s-Hajnal 猜想的几何版本,包括其通常的"诱导"形式和多色形式。多色猜想大致表明:对$\mathsf{PG}(n-1,q)$的彩色$c$若不包含固定彩色$c_0$对$\mathsf{PG}(k-1,q)$的彩色(其中$k$较小),则必须包含一个维数多项式于$n$的子空间,该子空间避免某种颜色。若$(k,q)=(2,2)$,则$c_0$是一个三个元素的"三角形",且存在三种本质不同情况,我们全部解决。我们推导了$c_0$将两种不同元素赋予相同颜色的情况,该情况依赖于Kelley和Meka最近的加法组合数学突破结果。我们处理$c_0$为"彩虹"彩色的情况,通过证明彩虹三角形自由的项目几何彩色恰好是那些可分解为两种颜色组成的彩色块。这与Gallai关于彩虹三角形自由彩色完全图的定理密切相关。我们还表明,现有结构定理可以解决$(k,q)=(2,3)$和$(k,q)=(3,2)$的某些两种颜色的情况。