关于 Kneser 型超图色数的若干拓扑与组合下界

在本文中,我们证明了 Erdős 关于某些 Kneser 型超图色数猜想的一个推广。对于满足 $n\ge rk$ 且 $2\le s\le r$ 的整数 $n,k,r,s$,$r$-一致广义 Kneser 超图 $\mbox{KG}^r_s(n,k)$ 以 $\{1,\dots,n\}$ 的所有 $k$-子集为顶点集,以所有 $s$-重空交的 $k$-子集的多重集 $\{A_1,\dots, A_r\}$ 为边集。情形 $r=s=2$ 由 Kneser \cite{K} 于 1955 年考虑,他猜想其色数为 $n-2(k-1)$。该猜想最终由 Lovász \cite{L} 于 1978 年证明。情形 $r>2$ 且 $s=2$ 由 Erdős 于 1973 年考虑,他猜想其色数为 $\left\lceil\frac{n-r(k-1)}{r-1}\right\rceil$。此猜想由 Alon、Frankl 和 Lovász \cite{AFL} 于 1986 年证明。情形 $s>2$ 由 Sarkaria \cite{S} 于 1990 年考虑,他声称证明了其色数的一个下界,该下界推广了此前所有结果。遗憾的是,Lange 和 Ziegler \cite{Z'} 于 2006 年在 Sarkaria 关于 $r$ 的素因子个数的归纳方法中发现了错误,且 Sarkaria 的证明仅在 $s$ 小于 $r$ 的最小素因子或 $s=2$ 时成立。在本文中,通过应用 Ziegler \cite{Z} 和 Meunier \cite{M} 的 $\mathbb Z_p$-Tucker 引理,我们最终证明了一般的 Erdős 猜想,并证明了 Sarkaria 对任意 $2\le s\le r$ 所声称的结果。我们还利用类似于 Alon、Frankl 和 Lovász \cite{AFL} 的方法给出了该结果一个特殊情形的另一证明,并计算了某些单纯复形的连通性,这些单纯复形本身可能也颇具意义。