随机 Kneser 图色数的锐界

给定正整数 $n\ge 2k$，{\it Kneser 图} $KG_{n,k}$ 是一个图，其顶点集为集合 $\{1,\ldots, n\}$ 的所有 $k$ 元子集的集合，边连接互不相交的子集对。组合数学中的一个经典结果（由 Kneser 猜想、Lov\'{a}sz 证明）指出，$KG_{n,k}$ 的色数等于 $n-2k+2$。本文研究 {\it 随机 Kneser 图} $KG_{n,k}(p)$ 的色数，即由 $KG_{n,k}$ 通过以概率 $p$ 独立保留每条边而得到的图。我们证明，对任意固定的 $k\ge 3$，有 $\chi(KG_{n,k}(1/2)) = n-\Theta(\sqrt[2k-2]{\log_2 n})$，以及 $\chi(KG_{n,2}(1/2)) = n-\Theta(\sqrt[2]{\log_2 n \cdot \log_2\log_2 n})$。我们还证明，对于 $k\ge (1+\varepsilon) \log\log n$，有 $\chi(KG_{n,k}(1/2))\ge n-2k-10$。这显著改进了 Kupavskii 以及 Alishahi 和 Hajiabolhassan 此前在该课题上得到的结果。第二个结果中对 $k$ 的界在常数因子范围内也是紧的。我们还讨论了与复形可嵌入性的一个极值问题之间的有趣联系。