关于几乎 s-稳定 Kneser 图的色数

2011年，Meunier 猜想：对于满足 $k\geq 2$、$r\geq 2$ 且 $n\geq \max (\{r,s\})k$ 的正整数 $n,k,r,s$，$s$-稳定 $r$-一致 Kneser 超图的色数等于 $\left\lceil \frac{n-\max (\{r,s\})(k-1)}{r-1}\right\rceil$。它是 Ziegler (2002) 以及 Alon、Drewnowski 和 Łuczak (2009) 所提猜想的加强版。关于几乎 $s$-稳定 $r$-一致 Kneser 超图色数的问题也由 Meunier (2011) 引入。对于 Meunier 猜想的 $r=2$ 情形，Jonsson (2012) 给出了纯组合证明以确认 $s\geq 4$ 且 $n$ 充分大时的猜想，Chen (2015) 证明了偶数 $s$ 及任意 $n$ 的情形。情形 $s=3$ 完全开放，即便是通常的几乎 $s$-稳定 Kneser 图的色数。本文通过不同方法得到了几乎 $s$-稳定 $r$-一致 Kneser 超图色数的拓扑下界。对于 $r=2$ 情形，我们得出结论：对所有 $s\geq 2$，几乎 $s$-稳定 Kneser 图的色数等于 $n-s(k-1)$。令 $t=n-s(k-1)$。我们证明几乎 $s$-稳定 Kneser 图的任意正常着色必包含一个完全多色的完全二部子图 $K_{\left\lceil \frac{t}{2}\right\rceil \left\lfloor \frac{t}{2} \right\rfloor }$。由此几乎 $s$-稳定 Kneser 图的局部色数至少为 $\left\lceil \frac{t}{2}\right\rceil +1$。这是 Simonyi 和 Tardos (2007) 以及 Meunier (2014) 关于几乎 $s$-稳定 Kneser 图下界的加强结果。