一般 Kneser 超图色数的一个新下界

一般 Kneser 超图 ${\rm KG}^r(\mathcal{H})$ 是一种 $r$-一致超图，它以某种方式编码了基超图 $\mathcal{H}$ 的边交集。$\mathcal{H}$ 的可染性亏度是一个组合参数，为 ${\rm KG}^r(\mathcal{H})$ 的色数提供了下界，这在 Dol'nikov [Sibirskii Matematicheskii Zhurnal, 1988]、K\v{r}\'{\i}\v{z} [Transaction of the American Mathematical Society, 1992] 和 Ziegler [Inventiones Mathematicae, 2002] 的一系列工作中被研究。本文中，我们定义了一个新的组合参数，即超图的公平可染性亏度，它对上述工作给出了一些共同的改进。粗略地说，我们提出了一般 Kneser 超图色数的一个新下界，它显著改进了 Ziegler 的下界。它总是与 Ziegler 的下界一样好，并且我们提供了几类超图，使得这两个下界之间的差异可以任意大。这也专门显著改进了一般 Kneser 超图色数的 Dol'nikov-K\v{r}\'{\i}\v{z} 下界。此外，我们证明了一个结果，确保一般 Kneser 超图的任何正常染色中都存在彩色子超图，这加强了 Meunier 的结果 [The Electronic Journal of Combinatorics, 2014]。