图着色、边空间与回路空间
组合数学
2007-05-23 v1 代数拓扑
摘要
由 Lovasz 对 Kneser 猜想的证明,图 G 的色数从下方被 Z_2-空间 Hom(K_2,G) 的指数加 2 所界定。我们证明 Hom(K_2,G) 的上同调指数也大于 Z_2-空间 Hom(C_{2r+1}, G)(对 r>0) 的上同调指数。这给出了 Babson 和 Kozlov 的强形式图着色定理的一个新的简单证明,该定理曾由 Lovasz 猜想,同时表明它给出的界不会强于由 Hom(K_2, G) 可得到的界。该证明推广了 Zivaljevic 在先前对一个特殊情形的优美证明中引入的思想。我们随后推广这些论证,得到了在其他图代替 C_{2r+1} 时相应结果成立的条件。这使我们能在 Kneser 图中找到一系列色数为 4 的测试图。我们的主要新结果是以 Hom(K_2, G) 的 Z_2-同伦型描述了所有空间 Hom(C_{2r+1}, G) 构成系统的直极限的 Z_2-同伦型。一个推论是,若 r 取得足够大,则 Hom(K_2, G) 的上指数不超过 Hom(C_{2r+1}, G) 的上指数多于 1。因此 Babson & Kozlov 定理中的图着色界也从不弱于 Lovasz 证明 Kneser 猜想所得的界。
引用
@article{arxiv.math/0606763,
title = {Graph colourings, spaces of edges and spaces of circuits},
author = {Carsten Schultz},
journal= {arXiv preprint arXiv:math/0606763},
year = {2007}
}